Függelék 1/0)
matematikai
axiómák általában
(a wikipédia geometria szócikke kiemeléssel – 4 old)
|
|
|
A) Euklidesz |
|
B) Nem-euklidesz |
|
Bolyaiék |
|
Gauss |
|
Lobacsevszkij |
|
Poincaré |
|
Hilbert |
|
Riemann |
|
|
|
csoportelmélet |
|
|
|
|
--<<Klein féle erlangeni program érthető leírásáról kérdezni kellene matematikai tanszékeket, intézeteket - FÁ>>--
http://hu.wikipedia.org/wiki/Geometria
Geometria
Ez a szócikk nem tünteti fel a forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Önmagában ez nem minősíti a szócikk tartalmát: az is lehet, hogy minden állítása pontos. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz!
A geometria (ma már kevéssé használt magyar fordítással: mértan) a matematika térbeli törvényszerűségek, összefüggések leírásából kialakult ága, melynek a tér mennyiségi viszonyainak leírása még ma is fontos alkalmazása.
Maga a geometria szó görögül eredetileg földmérést jelentett. Kialakulásában és több eredményének felfedezésében régészeti bizonyítékokkal alátámaszthatóan nagy szerepet játszott az ókori keleti kollektív munkára épült gazdasági rendszer (innen ered a terület- és térfogatszámítás, és a szintén keleti eredetű, de a görögök által is művelt csillagászat is [1]. A geometria az i. e. 5. század körül azonban lassan-lassan elszakadt tapasztalati gyökereitől, az eleata filozófusok (leginkább Zénón) és olyan tudósok, mint Thalész hatására. A geometria az első tudományág, amit deduktív módon, vagyis axiómarendszer formájában építettek fel (ez elsősorban Euklidész nevéhez fűződik).
Az axiómákat a görög filozófusoktól eredeztethetően úgy szokás felfogni, mint a tér olyan egyszerű és nyilvánvaló empirikus vagy intuitív tapasztalatokból általánosított alapvető tulajdonságainak logikai leírását, matematikai megfogalmazását, melyekben épeszű ember nem kételkedik. Az axiómák segítségével a geometria által vizsgált dolgokkal, például a pontokkal, egyenesekkel, görbékkel, felületekkel és testekkel kapcsolatos logikus következtetések vonhatóak le. E felfogás, különösen a történeti fejlődést tekintve, nem alaptalan, de a matematika, ill. a matematikafilozófia sok művelője (kutatók, oktatók) - főképp a nemeuklideszi geometriák tudományos polgárjogra emelkedésére alapozva - mára túlhaladottnak tekinti. Sokkal inkább vagy legalább annyira jellemző a geometriára az, hogy axiomatikus, mint az, hogy a „fizikai” tér leírásával foglalkozna (bővebben ld. A geometria története). Arra a kérdésre, hogy mi tulajdonképp a geometria, manapság nagyon nehéz egy mondatban válaszolni anélkül, hogy az ne válna puszta felsorolássá, vagy a geometria számos ága közül valamelyik ki ne lógna a definíció alól.
|
Tartalomjegyzék |
Története
Közvetlen, gyakorlati alkalmazása miatt a geometria a matematika elsőként kifejlődő ágai közt volt (az elemi algebra mellett), és az első ismeretterület volt, melyet sikerült, több próbálkozás után, axiomatikus elvekre építeni.
A görög tudománytörténetírás által ránk hagyott hagyomány alapján úgy tűnik, a geometria bizonyos területeinek szakrális (vallásos) jellegű motivációi is lehettek, különösen az eukleidészi szerkesztések elméletének. Ezek körében olyan problémákat is sikerült megfoghalmazniuk, melyekre csak több mint egy évezred múltán sikerül válaszolni.
A görög és hellenisztikus geometria nemcsak óriási és ma is használható ismeretanyagot hagyott az utókorra, de tárgyalásmódja, precizitása is olyan mintát jelentett az európai tudomány - és nem csak a matematika - számára, amelynek hatásai felbecsülhetetlenek, és csak a tizenkilencedik-huszadik században sikerült túlszárnyalni. A görögök eljutottak a szabályos testek elméletéig, tökélyre vitték a terület-és térfogatszámítást, képesek voltak a kúpszeletek értelmezésére és rendkívül egzakt vizsgálatára. Az - igaz, eléggé anekdotikus jellegű - hagyomány szerint legelméletibb eredményeiket is képesek voltak hatékonyan alkalmazni.
A következő igazán jelentős (paradigmaszerű változást okozó) lépésre csak a XVI. században, az analitikus geometria felfedezésével került sor, melyben megjelentek olyan fogalmak, mint a koordináta-rendszerek, és ahol a pontokat számpárokkal vagy számhármasokkal írták le. Ezen új nézőpont is segíthetett abban, hogy kifejlődjenek az euklideszitől eltérő geometriák is.
Mintegy kétezer éven át Euklidész axiómarendszere uralkodónak számított, és nemcsak a geometria, de az összes tudomány bizonyos értelemben mintaképnek tekintette. Carl Friedrich Gauss, Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij, Bolyai János, Henri Poincaré, Bernhard Riemann, és mások munkáinak eredményeképp az 1800-as évek közepén megszülettek a nemeuklideszi geometriák.
A geometria legújabb ágai a tér folytonosságának vizsgálatát látszanak többé-kevésbé feladni: ide tartozik a véges geometria és a diszkrét geometria. A véges geometria tulajdonképp inkább a kombinatorika, mint a geometria ága, a diszkrét geometria azonban a valós életben is előforduló érdekes vagy fontos problémákkal (pakolási/lefedési problémák, térinformatikai, térképészeti eredetű kérdések) és azok megoldásával foglalkozik.
Részterületei, felépítése
A geometria központi fogalma az illeszkedés. Az elemi geometriában az egybevágóság, hasonlóság és általában a transzformáció fogalmai alapvetőek. Két alakzat egybevágó, ha valamilyen mozgatással (szaknyelven egybevágósági transzformációval), például eltolással, tengely körüli forgatással, síkra való tükrözéssel* stb. egymásba vihetőek.
(* a síkra tükrözés valójában nem mozgatás, bár egybevágóság.)
A nemeuklideszi geometriák felfedezésével megkezdődött a geometria elszakadása tapasztalati gyökereitől. Ezeknek és a modern algebrai felfedezéseknek (elsősorban a csoportelmélet) köszönhetően a geometria egy új meghatározása és paradigmája született, az ún. erlangeni program. Az erlengeni program szerint a geometria ágai olyan transzformációk csoportjainak leírása, tanulmányozása (ld. transzformációcsoport), melyek mindegyikére igaz, hogy a transzformált elemek valamilyen, a geometria illető ágára nézve jellemző tulajdonságait helybenhagyja. Az egybevágósági geometria például a távolságot megtartó transzformációk csoportjának elmélete, a hasonlósági geometria a pontok osztóviszonyát, azaz távolságuk arányát nem változtató transzformációk csoportjának elmélete, a topológia az alakzatok folytonosságát meghagyó leképezések csoportját tanulmányozza stb. (ld. lentebb).
A geometria legújabb ágai a véges és diszkrét geometriák, melyekkel azonban inkább a kombinatorika foglalkozik.
A differenciálgeometria a topologikus sokaságokon megadható differenciálstruktúrával foglalkozik. A differenciálható sokaságok olyan terek, melyek bármely pontjuk környezetében egy vektortérrel diffeomorfak (azaz differenciálható struktúra szempontjából „egyformák”), azonban globálisan azoktól lényegesen különbözhetnek. Fontos részterület a (kvázi-) Riemann-geometria, mely a felületelmélet formájában a mérnöki tudományokban (héjszerkezetek tervezése), valamint az általános relativitáselméleten keresztül a modern fizikában nyer alkalmazást. A modern fizika mezőelméleteinek precíz matematikai megfogalmazása a nyalábok és konnexiók elméletét használja. Ezek az eszközök a legmodernebb fizikai elméleteknek (brane elmélet, szuperhúrok, szupergravitáció) is alapját képezik.
Geometriai témák