vissza a főoldalra *    

 From: Fáy Árpád [mailto:arpad.fay@gmail.com]  - Sent: Saturday, June 21, 2014 12:44 AM - To: 'hajnal@math.u-szeged.hu' - Subject: RE: kérdés

elégedetlenkedés

a matematikai nyelvezet csiszolatlansága miatt

 Tisztelt H........!

Egész életemben kísértett a matematika. Hol fényesen ment, hol elvesztettem a fonalat.

Középiskolában több mint egy évig minden órára a tankönyvi bizonyításhoz kerestem egy másik, párhuzamos bizonyítást. Aztán valahogy elmaradtak a saját bizonyítások, mert tanáromnak elfogyott a türelme, hogy szünetekben meghallgassa.... Nem akarom bántani, főleg nem utólag.

Egyetemen volt egy Denkinger nevű tanárom, aki ha jól tudom akadémikus volt. Főiskolán képzetes számokra is rátévedtünk analízisben, mert a tekercs és a kondenzátor tárgyalásához ez kellett. Utána egyetemen nem boldogultam Denkinger könyvével. Két sikertelen vizsga után lemásoltam a könyvét kétszer kézzel szó szerint papírra (szóról szóra). Míg rá nem jöttem, hogy a könyvben szereplő alsó és felső indexek kétharmada nincsen megadva. Állítólag azért, mert akadémiai dolgozatainak részleteiből állt a könyv, és a titkárnő nem vette ki a felesleges indexet, illetve csak az első vagy az utolsó fejezet indexeinek a listáját gépelte le. Higgye el, hogy évfolyamok véreztek el rajta. Szerintem nem tehetség dolga, hogy minden egyetemi jegyzetet hasonlóképpen kell bogarászni.

Nekem hasonlóan felháborító, ahogy a görbült terekben a párhuzamossági axiómáról értekeznek. Lehet, hogy ilyesmit Bólyai leírt, de mi már utána vagyunk. Görbült térben nincsen párhuzamosság Euklidesz értelmében (mert ha mégis, akkor át kell definiálni előbb a párhuzamosság fogalmát). Lehet a ponton átmenő, az egyenest nem érintő egyeneseket párhuzamosaknak is nevezni, amint lehet kocsinak nevezni a benzinautót, de ha ez a pongyola fogalmazás nemzedékeknél veri ki a biztosítékot, akkor legalábbis elhagyhatatlan lábjegyzetben, zárójelben kellene kitérni rá.

Nem Önnel vitatkozom, hanem azzal a gyakorlattal, amit az Ön írásában viszont látni véltem.

Egyetemistaként a valószínűségszámítás gondot okozott. Utána olvastam, Prékopa András könyve volt azon 4-5 könyv egyike, amit ebben a témában érdemes volt többször elolvasni, mert nem hibákra leltem, hanem úgy éreztem, hogy egyre inkább értem (20-30 másik jegyzettel, könyvvel szemben). Prékopa is elkeserített, amikor személyesen megkerestem megmaradt kérdéseimmel, és valami hasonlót mondott, hogy a matematikusok nem tesznek fel olyan kérdéseket, mint én. Nagyon fel voltam háborodva (pontosabban el voltam keseredve, mert akkor kevésbé értettem, mi történt).

Tegyük fel, hogy a matematikusok tehetségesebbek az átlagnál, de akkor miért kell az ő tehetségeiket darálni,  morzsolni olyan megfogalmazásokon, amelyek szükségtelenül tökéletlenek? Mert az általános matematikai szint az országban elégtelenül alacsony, kusza. Miért kell Amerikáig menekülni egy excel táblázat megalkotásához? És miért maradna ez továbbra is így? És ráadásul a kezdő körökben (tanulásban kezdők körében) akinek esze van, az nem gondolkodik, mert joggal válik bizalmatlanná a megfejthetetlen könyvekkel, szövegekkel, definíciókkal szemben, amelyek ellentmondanak a szó szerint értelmezhető elemi logikának.

Az Ön szövege nem olyan alaposságot célzott meg, mint amit én kerestem - mondja. Értem. De higgye el, hogy az emeletes törtekkel, a megadatlan értelmű indexekkel, műveleti jelekkel és a többi csak egy a matematika funkcióját eltorlaszoló foglalkozási réteg tudja illetve próbálhatja kényelmességét igazolni a külsőkkel szemben, hogy nem fogalmaz pontosan (többnyire nem is tudna pontosabban fogalmazni). Számomra középiskolában egyértelmű volt, hogy az egyenlőségjel két oldalán csak egyforma fizikai dimenzió lehet. 10 évvel később egyetemi statisztika tankönyvem szerzői értetlenkedtek, amikor kifogásoltam, hogy tanulók számára a liter nem lehet egyenlő %-al. Az emeletes törtek, az analízis bonyolult kifejezései absztrakciós alakzatok. Az absztrakciós alakzatok semmit sem jelentenek, ha nem lehet őket egyértelműen dekódolni. És éppen ma, amikor szédületes iramban fejlődik a matematika, ezzel együtt a matematikai eszköztár, jelölések, amikor nemcsak előrehaladás van, hanem egymásnak párhuzamos próbálkozásoktól hemzseg a szakirodalom is - értetlenül állok a pontatlan fogalmazás előtt (különösen ha tananyagról, kutatási anyagról, vagy szakmán kívülieknek fogalmazott szövegről van szó). Mert a matematika mérési eredmények számolását elősegítő volta mellett legalább ennyire fontos szerepe a gondolkodás általános sémáinak magabiztosabbá tétele a fogalmazási áttekinthetőségben a norma alkotással, a sémák megnyugtató előkészítésével. Másként szólva a matematika nem ceruzás, most már billentyűs számolás technika, hanem a gondolkodás eszmeiségének kimunkálása, finomítása.

Mert vegyük az ellenpéldát - egy műszaki rajzot. Csak a munkaközi skicc lehet olyan, hogy összeszokott munkatársak nem igénylik a jelek felsorolását valahol táblázatban. De kész rajzot összeszokott brigádon belül sem lehet kiadni kézből jelmagyarázat nélkül. Miért lenne másképpen a matematikában? Sokkal kevésbé szabadna megengedni a jelmagyarázat hiányosságát matematikában. Inkább két oldal jelmagyarázat egy képlethez (számítógéppel ez különben sem gond), mint egy félre csúszott értelmezés. És sehol sem látom a műszaki rajzi mintát.

Euklidesz könyvének magyar fordítói előszavaiban hangsúlyozzák, hogy az ő korának filozófiai tudását, teljesítményét mutatta be egy alkalmazáson. Tehát nem ő csiszolta az axiomatizáló technikát oly mértékig, amit utána kétezer évig nem tudtak meghaladni, hanem a görög filozófia több évszázada érvényesült benne mint évezredes világító torony. Azaz nincsen matematika filozófiai alapok nélkül. Oda-vissza. Euklidesszel lezárult egy korszak. Nincsen filozófia matematika nélkül. A matematikai absztrakció elvileg nem lehet meg filozófiai előkészületek nélkül, és miután megszületett egy matematikai iskola, újabb terület (például a halmazelmélet), utána a matematika eredményeket nem lehet elzárni a filozófia elől, mert vissza hatnak rá. A teljes és részhalmaz, az egymást kizáró halmazok, a halmazok közti átfedések és az azonos halmazok fogalma nélkül ma már nem lehet egyértelműen fogalmazni filozófiában sem. Tehát kellenek a gondos definíciók.

Személyes véleményem (azaz érzésem) az, hogy a halmazelmélet egy igen egyszerű és alapvető dolog, nem a matematika belső ügye, hanem az egyértelmű fogalmazás alapvető kliséit tette meghivatkozhatóvá, könnyen érzékelhetővé, "láthatóvá". Tehát a halmazelmélet nehezen érthető definíciói az általános gondolkodást, más ismeret területek fogalmazási egyértelműségét akadályozzák vissza tartják, mert a zavaros minta, inspiráció visszatart - minden tanulóban, kutatóban, vagy csak átlagos gondolkodást, probléma kezelést végzőben.

Ahogyan általam ötletszerűen kinyitott egyetemi tankönyvek euklideszi axiómákat ismertető tárgyalásaiban még nem láttam, hogy az alapfogalommal kezdték volna. Pedig Euklidesz így tett. De nem a mai ismertetői (illetve tegnap egyet láttam interneten (alapfogalom - alaptételek .... kezdődött a felsorolás). Tehát mi az alapfogalom? A kiterjedés nélküli, tovább nem osztható eszmei pont. Ez annyira nem magától értetődő ma már megint, hogy középiskolás leendő matektanárokat felkészítő, felsőfokon oktató tanár a leginkább rendjén valónak tartja, hogy a fény útjához kell illeszteni az egyenes fogalmát. Tehát induktív módon kell kalapálni a deduktív fogalmakat, a pont és több pont után következő egyenes alapfogalmát. Képtelenség. Ez m aga az erózió 2300 évvel korábbi állapotba. Meghatározó fogalmi különbségtevést számol fel diákjainak fejében - akik ezt tovább viszik. Ahelyett, hogy arról beszélne, hogy határeset az euklideszi egyenes ideája, és a görbült terek olyan hasznosak az induktíven tárgyalt jelenségek leírásánál, hogy igen hasznos, ha az eszmei egyenes fogalmát görbült terek esetében is megfogalmazzuk, azaz másként fogalmazzuk mint amit Euklidesztől örököltünk. A lényeg azonban, ami itt a példában megnyilvánul, az eszmei és a mérhető típusú fogalmak, fogalmi rendszerek, műveletek, axiomatikus alapok össze keverésének ellent állni. De ezt egy matektanárokat hivatásukra felkészítő, görbült geometriával foglakozó oktatónak hiába vetem ellent.

A jelenség egészen általános. Minden ismeretkörnek kell legyenek eszmei deduktív normái és induktív módszerei. A kettő egymás egészíti ki, de nem belső mibenlétük feladásával. A közgazdaságban is, politikában is, jogban is, mérnöki munkában is, az ember minden irányú tudományosan, rendszeres gondolkodással megalapozott, kísért ténykedésében.

Ezért fontos, hogy a matematikusok egyértelmű fogalmazásaikkal mankót, támpontot adjanak másoknak is. Akkor különösen, amikor már tisztáztak egymás közt olyan kérdéseket, mint hogy miként lehet még tovább csökkenteni a halmazelméleti alapfogalmak, definíciók közti maradék ellentmondásokat.

Ne haragudjon, hogy ismeretlenül ilyen gondokkal "szembesítettem".

Köszönöm a válaszát.

És ha tudna adni olyan címet például interneten, ahol kiérlelt, egyértelmű és nem matematikusnak is érthető módon olvashatók a halmazelméleti alapfogalmak és axiomatikus szövegesen fogalmazott megállapítások, az érdekelne.

Üdvözlettel

Fáy Árpád


 http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/Univ_Halmazelmelet/halmaz9


 

 Vissza az oldal tetejére