Mi a matematika helye és szerepe az emberi megismerésben?

From: Fáy Árpád <arpad.fay@gmail.com>
Sent: Thursday, June 09, 2022 12:43 AM
To: 'Szilvia Szego' <szeszego@gmail.com>
Subject: mi a deriválás (általában a matematika) lényege???

Kedves Antal!

Azt írod a leveledben elsőnek, hogy „a matematikus nem tud válaszolni, mert ő „benne foglaltatik” a matematikai gondolkodásban, annak logikai szabályait ösztönösen alkalmazza. A kérdésre érdemi választ csak az adhat, aki kívül van a matematikai gondolkodáson, erre az ismeretelméletben járatos filozófus vállalkozhat.”

Érdekes módon átlépsz azon a szemponton, hogy „Mi a matematika helye és szerepe az emberi megismerésben?” amikor a deriválás kérdésére térsz át. A deriválást egy kiragadott példaként említettem a matematika helyére és szerepére az emberi megismerésben. De ugyanilyen példának lehet felhozni az esemény előtti valószínűségszámítást és az eseményt követő kiértékelő információ mennyiség számítást közös egységben kezelve. Az is ismeretelméleti evidencia konkrét matematikai formalizmusba öntött esete.

Nagyon sok problémám volt életem során gyerekkoromtól kezdve, amikor az ismeretelméleti általánosságtól elhatárolva jelölték meg egy-egy matematikai (vagy fizikai) ismeretanyag sajátosságait, algoritmusát, számítási lépéseit.

Azt írod, hogy „nem értem a matematikai deriválás (differenciálás) lényegét, és olyan dolgokat kérek rajta számon, ami nem rá tartozik.” Itt abban különbözik a véleményünk, hogy szerintem a deriválás egy általános fogalmi művelet leszabályozott, algoritmusba illesztett speciális esete. És ennek az összefüggésnek az ismerete nem  kiváltság és nem egyéni ízlés kérdése  kell legyen, hanem ismert evidencia. Meg kell fogalmazni, ki kell tárgyalni, utána kell menni.

Szabó Árpádot milyen jó lenne most meghívni. Mert mostani soraidat olvasva vált egyértelművé számomra, hogy lényeges a deriválási művelet mechanikus szabályainak alkalmazásán-ismeretén túl az, hogy mi a fogalmi művelet lényege. Lényeges, hogy az megfogalmazott legyen – nem elég, hogy fizikusok és matematikusok paradigmatikusan ráérezzenek és ezért helyesen alkalmazzák. Tételesen kifejtve fontos. Szász Gábor axiomatikáról szóló 1972-es könyvére lehet utalni, hogy matematikusok számára is felmerültek ezek a kérdések, illetve 2006-ban megjelent három kötetes egyetemi tankönyvében szentel pár oldalt általános fogalmi megalapozásra. Szükségét érezte, de nem erőltette, nem vitte végig.

A matematika összes lényeges fejleménye ismeretelméleti vonatkozású is. Kalmár László tett epés megjegyzést arról, hogy a matematika nem az algoritmusok ismerete…..

No meg jómagam, amikor arról elmélkedtem (Kalmárról nem tudva), hogy középiskolában és főiskolán (majd az egyetemen) valódi matematikát sosem tanulhattam, csupán akkor még ceruzás számítástechnikát. És te is erre utalsz (csak nem kifogásolod), hogy aki az általam ceruzás (most már számítógépes) számítástechnikán kívül keresi a „matematika lényegét”, az nem ért hozzá.

Köszönet mindenesetre az első bekezdésed megjegyzéséért – mert jó hogy egyértelműsítetted.

FÁ

a valóban lényeges, alapvető ismeretek helyett
csupán az azokból levont konzekvenciákat oktatják

Fáy Árpád: Fizikaoktatás műszaki főiskolákon (hátsó borító) - Fizikai Szemle 1979/8. 29. évf. 8. sz. - 1979. augusztus

Nemrég került a kezembe a Fizikai Szemle '78/10-es száma. Ennek hátoldalán olvastam egy felhívást a fizikaoktatással kapcsolatos észrevételek megírására.

Villamosipari főiskolát végeztem, és az ott szerzett élményeim alapján a következőket szeretném elmondani.

A szemléletes modelleknek fontos szerepük van a tanulásban, azonban kellő elővigyázatossággal kell őket kezelni. Pl. az a megfogalmazás, amely a feszültséghez viszonyítva az áram késéséről, illetve sietéséről beszél váltakozóáramú hálózaton, szemléletes, mert az idődiagrammon a szinusgörbék csúcsai valóban nem mindig vannak 'szinkronban'. Ennél többet azonban nem jelent a 'siet' és 'késik' kifejezés. Baj van, amint a fizikai tartalomra kerül a sor. Végzős főiskolások sem tudnák világosan elmagyarázni, hogy pontosan milyen folyamat megy végbe, ha az áram-csúcs megelőzi a feszültség csúcsot [v. fordítva]. Viszont azt fel tudják sorolni, hogy mikor, milyen áramköri elem használata esetén következik be ez a jelenség, mert memorizálták, „bemagolták", szerintem felesleges erőfeszítéssel. A kapacitások és induktivitások sokszor és sokat előfordulnak, sok nehézséget okoznak.

Azt hiszem, hogy még a főiskolai 3. évben sem ártana elismételni, hogy a villamos feszültség és villamos töltés egymást feltételező fogalmak (a villamos áram csupán a villamos töltések áramlása). Ha tehát a feszültség és áram fázisviszonyának fizikai tartalmát akarom megvilágítani, akkor feszültséget és abszolút töltésmennyiséget, feszültség különbséget és relatív töltésmennyiséget; avagy a töltésmennyiség változását a feszültségváltozás függvényében kellene vizsgálnom először, hogy aztán a félreértés legkisebb lehetősége nélkül beszélhessek a feszültség és az áram fázisviszonyáról. Mindezt egyszer ugyan elmagyarázzák, de csak egyszer. Később sohasem hivatkoznak rá, amikor a 'késés' és 'sietés' fogalmakat kellene egy-egy konkrét esetben nagy biztonsággal kezelni. Végül is a 'késés' és 'sietés' kifejezéssel egy differenciálási műveletet jelölök (pl. i_c = du/dt), amelynek a tartalma egy közvetett fizikai összefüggés. Így talán természetesebbnek, kevésbé misztikusnak tűnhet az a jelenség, hogy az áram és az őt 'létrehozó' feszültség nincsenek mindig 'fázisban'.

Most egy kiragadott példát hoztam fel, amelyhez számtalan hasonlót lehetne elmondani. A lényeg, hogy a sokszor hangoztatott fizikai tartalmat a fizikaoktatásban körültekintőbben kellene megmutatni óráról órára az éppen tárgyalt anyagban. Azt hiszem általános jelenség a tudományban nagyon régen kialakult, jól elhatárolt fogalomkörök, tudományterületek szükségtelen egybemosása az oktatásban.

Pl. matematikában a matematikai logika és a számítási algoritmus megkülönböztetésének hiánya nemzedékekkel utáltathatja meg a matematikát. Az integrálszámítás oktatásában örökké az egyre kisebb szakaszokra való felbontás technikáját magyarázzák, holott azt kéne gyakorolni, hogy milyen természetű feladatok megoldására lehet alkalmas ez a számítási módszer. Az örökösen túlzásba vitt számolás, számítási technika elvonja a figyelmet a lényegről, és akadályává válhat a tanulásnak, a matematika megértésének. Lényegében két külön tantárggyá lehetne szétválasztani a számítástant és a matematikát. --<<az oktatásban a számítás az elméletnek, a megértésnek a kontrollja. Az elméletet fizikában az induktív tények felülírhatják, de az kutatási fázis. Ami ugyan mindenkinek szabad pálya, de a tanterv szerinti rutin foglalkozás nem alkalmas a kutatás szimulálására, mert a tágabb ismeretelméleti, lételméleti összefüggések ismeretlenek maradnak (azaz a tágabb ismeretelméleti, lételméleti összefüggések elhanyagolása esetén az induktív tények abszolutizálása értelmetlenséghez vezet, tudati torzuláshoz.). És robottá alakul egy értelmetlen relativitási reflex miatt a tanulás is meg az utána következő munka is. -FÁ, 2015-ben>>--

Másik példa. Másfél éven át tanulunk villamos gépeket, és hozzátehetném, hogy feleslegesen. A kudarc a vizsgaeredményekben is tükröződött. Itt sem volt szétválasztva a villamos gép elve, fizikai alapja a szerkezeti kialakítástól, a konkrét számításoktól. Sőt. Állandóan sin-t és cos-t magoltunk, különféle görög betűk garmadáját anélkül, hogy tisztáztuk volna, hogy pl. a forgó villamos gépeknél álló és forgórész között kizárólag mágneses úton valósul meg az erőátvitel. Magában az erőátvitelben villamos mennyiség nem szerepel. Csupán a mágneses erőterek létrehozását valósítom meg villamos úton — de ez technológiai kérdés.

Furcsa: dolog, hogy a túlterheléstől való féltés ürügyén a valóban lényeges, alapvető ismeretek helyett csupán az azokból levont konzekvenciákat oktatják mint egyszerűbb, jobban megérthető, kisebb intelligenciát kívánó ismereteket, amelyeknek ,,közvetlen kapcsolata van a mindennapi tapasztalattal". Holott éppen az ilyen anyagot a legnehezebb megérteni az alapvető összefüggések hiányában,

És hadd térjek vissza a legfontosabbra, A matematika nem egyszerűen számítástechnika — ezt talán a modern, gépesített számítástechnika napjainkban mind egyértelműbbé teszi. És ugyanígy a fizika sem kizárólag a fizikai jelenségek egzakt leírására, számítására alkalmazott számítástechnika, hanem elsősorban elmélet - amely határos a filozófiával, amelynek a kísérlet valamint az alkalmazás, a technika a próbaköve — de csak próbaköve!

Ha hozzászólásomat hasznosítani tudnák, annak igazán örülnék.

A Fizikai Szemle szerkesztő bizottsága az 1972. évben meghirdetett Vélemények sorozatát az olvasók kérésére tovább folytatja ez évben is A szerkesztő bizottság állásfoglalása alapja, „a Fizikai Szemle feladatául vállalja el, hogy teret nyit a fizikai kutatás és a fizika oktatására vonatkozó véleményeknek, ha azok értékes gondolatokat tartalmaznak és építőszándékúak, függetlenül attól, hogy egyeznek-e a lap szerkesztőinek nézetévei, vagy sem". Ennek szellemében várjuk továbbra is olvasóinknak, várjuk a magyar fizikusoknak leveleit.

A szerkesztésért felel: Turiné Frank Zsuzsa

Szerkesztőség; Budapest V., Anker köz 1, Eötvös Loránd Fizikai Társulat. Távbeszélő- 227-040

A kiadásért felelős: Siklósi Norbert igazgató

Kiadja a Lapkiadó Vállalat, Budapest VII., Lenin körút 9-11. Levél5ini: 1906; postafiók 223. Távbeszélő: 281-293

Terjeszti a Magyar Posta. Előfizethető bármely postahivatalnál, a kézbesítőknél, a Posta hírlapüzleteiben és a Posta Központi Hírlap Irodánál

közvetlenül vagy postautalványon, valamint átutalással a KHI 815-96162 pénzforgalmi jelzőszámlára

Előfizetés egy évre 144,-Ft; egyes szám ára 12,-Ft. Megjelenik havonta

79.7084 Akadémiai Nyomda, Budapest V., Gerlóczy utca 2.  — Felelős vezető: Bernát György

Index: 25.289

HU ISSN 0015—3257   j

 From: Szilvia Szego <szeszego@gmail.com>
Sent: Thursday, June 02, 2022 5:38 PM
To: Fáy Árpád <arpad.fay@gmail.com>
Subject: Fwd: Fáy Árpád a matematikáról????FW: : Meghívó Pázmány konferenciára Fenntartható tájhasználat jun. 1. --- továbbá szíves figyelmetekbe egy érdekes tudománytörténeti kötetet és benne írásomat MTT tudománytörténeti sorozat

Kedves Árpád!

Antalt kértem meg a válaszra. Továbbítom Neked a levelét. 

Jó elmélkedést kívánok

Szilvia

---------- Forwarded message ---------
Feladó: Antal Rockenbauer <antalsylvia38@gmail.com>
Date: 2022. máj. 30., H, 7:51
Subject: Re: Fáy Árpád a matematikáról????FW: : Meghívó Pázmány konferenciára Fenntartható tájhasználat jun. 1. --- továbbá szíves figyelmetekbe egy érdekes tudománytörténeti kötetet és benne írásomat MTT tudománytörténeti sorozat
To: Dr. Szegő Szilvia <szeszego@gmail.com>
Cc: Fáy Árpád <arpad.fay@gmail.com>

Kedves Szilvia!

Kérted, hogy kommentáljam Fáy Árpád matematikával kapcsolatos észrevételeit.

Két pontra reflektálok.

Mi a matematika helye és szerepe az emberi megismerésben? Erre a kérdésre a matematikus nem tud válaszolni, mert ő „benne foglaltatik” a matematikai gondolkodásban, annak logikai szabályait ösztönösen alkalmazza. A kérdésre érdemi választ csak az adhat, aki kívül van a matematikai gondolkodáson, erre az ismeretelméletben járatos filozófus vállalkozhat. Magam nem tartozom közéjük, ezért nem is válaszolhatok erre a kérdésre.

A másik dolog  a deriválás kérdése. Láthatóan Árpád nem érti a matematikai deriválás (differenciálás) lényegét, és olyan dolgokat kér rajta számon, ami nem rá tartozik. A függvény analízisnek két fő módszere van: a deriválás és annak inverz művelete az integrálás. Az utóbbi módszer a derivátumból rekonstruálja a vizsgált függvényt. Az Árpád által felvetett „hiányosságra” az integrálás tökéletes választ ad.

Antal 

Dr. Szegő Szilvia <szeszego@gmail.com> ezt írta (időpont: 2022. máj. 28., Szo, 22:40):

Kedves!

Árpád ír a matematikáról, amit csak részben értek, illetve valószínűbb, hogy félreértem.

 Megnéznéd, és válaszolnál rá?

 Ha jól értem, az a probléma, hogy a deriválás egy adott pályát ír le, de a kiindulópontot adottnak veszi.

Köszönöm

Szilvia

From: Fáy Árpád [mailto:arpad.fay@gmail.com]
Sent: Saturday, May 28, 2022 1:32 AM
To: 'Szilvia Szego' <szeszego@gmail.com>
Subject: FW: : Meghívó Pázmány konferenciára Fenntartható tájhasználat jun. 1. --- továbbá szíves figyelmetekbe egy érdekes tudománytörténeti kötetet és benne írásomat MTT tudománytörténeti sorozat

A paradigmaváltás témaköre érdekes önmagában is.

A majd 400 oldalas „PARADIGMAVÁLTÁS A TUDOMÁNYOK, A TECHNIKA ÉS AZ ORVOSLÁS KÖRÉBEN” című kötet igen érdekesnek ígérkezik, van mit olvasni.

Az első írás a matematika oktatással foglalkozik.

Ezzel kapcsolatban ötlött fel bennem néhány sor – vajon kitől lenne érdemes véleményt kérni róla?

A matematika természete általánosságban, szemléletesen a logikai műveletek halmazának számszerűsíthető részhalmazaként talán többeknek érthetőbb volna. Lehetne viszonyítani egyéb tudomány-területekhez. Érdekelne ennek irodalma. --- Emlékem egy ilyen megközelítés szerint nagyon megkönnyítette volna középiskolai matematika tanulmányaimat. Az efféle rendszerező elemzés alapvetően érvényesül korunk tudományos gondolkodásában, de mintha nem volna néven nevezve.

Érettségi előtt erősíteni akartam matematikából és egy Lipták nevű, 1970 körül nagyon idős matematikushoz mentem pár foglalkozásra. Volt valami amire rákérdeztem. A válasz érthetetlen volt. Körbejártuk a dolgot, és amikor végre kiderült bizonytalanságom oka, az öreg idegesen a térdére csapott, hogy de hát ez evidens, erről nincs mit beszélni. Ma az ilyen ne beszéljünk róla dolgokat paradigmának hívják, aminek titokzatos módon változik a jellege időnként – amire rá kell érezni, amire ne kérdezzünk rá. Alapvető hiátusnak érzem, és egész életemben sokszor botlottam bele, hogy egyirányú fegyelmezett absztrakciót „diktálnak” pld matematikában is, és akinek kérdése volna, annak elfogy a levegője. Pedig azt hiszem eléggé világosan lehetne egy tágabb absztrakciós rendbe illeszteni nemcsak a matematikát és logikát és a még általánosabb fogalmi műveleteket, hanem például a deduktív és induktív tudományokat is …. tehát közös tágabb halmaz speciális részhalmazaiként. De senkit nem érdekel.

Kerestem többször is, foglalkoztak-e azzal, hogy a deriválás (függvényanalízis) lényegében egy absztrakciós (elvonatkoztatási) művelet algoritmizált változata a függvények körében (függvényekként felírható összefüggéseken belül)?

Az efféle értelmezés nagyban megkönnyítené már középiskolás korban sokak számára az adatvesztő elemzési eljárásokat (pld út és idő --- csak a megtett út hosszának és az eltelt időnek a hányadosa, függetlenül a konkrét útszakasztól ---- gyorsulás csak a sebesség változása, függetlenül a gyorsulás előtti és utáni konkrét sebességtől stb-stb. Ez egy lépcsőzetesen előre haladó absztrakciós lépcsőnek, útnak is tekinthető, amely újabb és újabb sajátságok néven nevezhetősége érdekében lemond egyes konkrétumokról, elszakad tőlük. A görögök óta ismert, de mai változatával nem találkoztam. Érdekes volna.

Nyilvánvaló, hogy ez a megközelítés, amit itt pedzegetek kilóg a divatos minél több gyakorlat által fedezze fel a diák a törvényszerűségeket, mintegy a "tudomány törzsfejlődését" megismétlő "tanulási egyedfejlődésre" gondolva …

…. ám közben nem kerül sor például arra, hogy a deriválás felfogható az absztrakció (elvonatkoztatás) egyfajta modellezéseként, vagy hogy az eseményt megelőző valószínűségszámítás és az eseményt követő információmennyiség számítás együttes algoritmusa is felfogható az előre megbecsült tapasztalatot utólag a becsléshez viszonyítva kiértékelő általános gondolkodási műveletként, nem csak számszerűsített algoritmus (vagy sorozatban a visszacsatoló problémamegoldó körfolyamat) egyfajta algoritmizált, számszerűsített modelljeként.

Ha a tanulás nem drasztikusan egyirányú diktálás (akár a matematikai példamegoldásokba csomagolt erőszakként), akkor nagyon sokakat segíthetne betájolni hogy egyáltalán mi a megértendő a matematikában?! Annak eredményei hogyan használhatóak, értelmezhetőek? Tömegoktatásban ki lehet szelektálni, emelni azokat, akik „mégis” ráéreznek eme titkokra – de nagyon sok feleslegesen elpazarolt, kudarcba fulladt erőfeszítéssel.

Mindenképpen gondolatébresztő lenne a matematika mibenlétének megértéséhez illetve a matematikán túli gondolati (fogalmi) műveltekhez való viszonyának megértésében.

Olyan megjegyzéssel is sokkal találkoztam, hogy nincsen szüksége a társadalomnak az efféle megközelítésre, alaposabb tájékozottságra. De jó lenne mégiscsak tájékozott véleményekkel találkozni.

FÁ