Új lap

Személy és alkotmány és gazdaság

Alapfogalom, alapűmvelet és alapvető viszony keresése:
halmazban – hálóban - rendszerben - 2016 07 19

Fáy Árpád, 2016 07 19

Alkotmányossági Műhely és Fórum Társaság nevű egyesület

Bevezető sorok

Előfordul az emberrel, hogy valamely evidenciáról, fölfedezésről hallva az jut az eszébe, hogy erre én is gondoltam már. Sok évtizeddel ezelőtt. Csak az átfutó villanást, a halványan megfogalmazódó kételyt nem tudtam tétellé erősíteni, utánajárni, módszeresen levonni belőle következtetéseket, mások felé is hangoztatni.

Hozzá tartozik, hogy némely korai „felismerésem” utóbb tipikus hibának bizonyult. A lényeges, jó és később korrigálandó felismerések, sejtések között még kevésbé tudtam különbséget tenni gyerekként és utána.

A fiatalkori evidenciák vagy evidens kérdések köréből néhányat úgy érzem, hogy legalább most, elérve a nyugdíjkorhatárt próbáljak rendbe enni, kicsit utána járni, legalább az én részemről lezárásként, de mindenképpen áttekintésként.

A napokban azt a választ kaptam egy tekintélynek örvendő pénzpolitikustól, hogy őt a reális dolgok érdeklik, a filozófiához nem vonzódik, nem is ért hozzá. Abból a távolságból, ahonnan én nézem a dolgokat és ahogyan nézem, feszegetem a magam eszközeivel – ez a válasz érthetetlen, ha éppen nem tipikusan helytelennek tartom.

Számomra ugyanis az elvi megalapozása a dolgoknak, az élet reáliáinak, a teendőinknek ha nem is az egyetlen feladat, de egy elengedhetetlen feladat. Enélkül sokmindennek a jobbra fordulása, eredményes művelése nem képzelhető el. A modern gondolkodásnak, probléma megoldásnak, fejlesztésnek összességében, a munkamegosztási kapcsolatok egészét tekintve a deduktív axiomatikus fogalmi rendszer, fogalmi modell az egyik kulcseleme.

Fennhangon hangoztatják sokszáz éve, hogy vége a skolasztikának, felejtsük el az eszmei, deduktív gondolkodási alapokat, szempontokat, mert a tapasztalati gondolkodás, tudomány mára mindent legyőzött, egyedül üdvözítő útnak tekinthető. Mondják ezt mérnökök, műszaki egyetemi tanárok és rájuk hivatkozva sokan mások. És a matematika? Az is! – vágja rá sokuk, csak azzal ők nem foglalkoznak, de kivétel gondolatát nem engedik meg a maguk részéről.

Azaz káosz uralkodik sok egyetem oktatóinak fejében, akadémiai körökben, szűkebben még a matematika tanárok közt is (nyilván vannak kivételek). A józan észre és megsejtésekre hallgatva próbáltam utána eredni annak, hogy az eszmei, más szóval deduktív axiomatika milyen eredményre jutott napjainkra – mert sejtésem szerint azt a társadalom tudományokban is figyelembe kellene venni.

A pénzelméleti ismeretek világában tehát az efféle filozófiainak mondható alapvetésnek nem fölösleges luxusnak k ellene lennie, hanem elengedhetetlen alapismeretnek. Miféle korban élünk, amikor a kúria mint legfelsőbb bíróság elnöke írásba adja, hogy ha egy kúriai bíró módszeresen hibásan számol ítélete indoklásában, akkor ott nincsen lehetőség jogorvoslatra (tehát a kúriai bíró téves számolása át fogja írni a matematikát?). Talán mégsem.

A továbbiakban tehát próbálok közérthető lenni (ami az önkontrollnak is egyik módja), de ezt véletlenül se tekintse senki úgy, hogy szakzsargonba kívánok burkolózni. Nem vagyok abban a helyzetben hogy másokat kioktathassak. Legfeljebb abban, hogy ami nem stimmel, ami gyanús, azt meg kell próbálni átgondolni.

Alapfogalom, alapművelet és alapvető viszony keresése halmazban, hálóban, rendszerben

Középiskolás korom óta volt egy halvány sejtésem, hogy a közoktatásban (és majd a műszaki főiskolán, közgazdasági egyetemen) tanult matematika tematikai tévedésen alapul. A hetvenes évek elején ezt úgy próbáltam jellemezni, hogy ceruzás számítástechnikát oktatnak, nem valódi matematikát. Eléggé fárasztónak éreztem ezt a bújócskát, örökös rejtvényfejtést, és ahol nem kellett, ott szenvedélyből nem is mentem utána. Alapvetően hiányzott a matematika történeti adalékolás.

Ráadásul ma már tudom, hogy a matematika axiomatikus ismeret lévén időnként újrafogalmazódik. Az ilyen újradefiniálást követően a matematika történetnek is meg kell újulni. A megújulás félre vezető kifejezés lehet, mert nem frissességet tanúsítva kell a korábbinál is alaposabb legyen, hanem az új, megváltozott axiomatikus alapok szempontjából kell áttekinteni a korábbi matematika történetet, meg azt a bizonyos új axiomákra támasztott új matematika korszakot.

Kétszáz éve Európában nem ismerték, nem volt közkeletű a negatív szám, de különösen nem annak mai megszokott jelölése. A könyvelés módszerei mai napig őrzik a megelőző korszakból származó, formailag negatív számok nélkül dolgozó „akasztófás” módszer sok elemét, kifejezését. Nagyon zavaró jelenség, főleg úgy, hogy még nem találkoztam olyan könyvelés tankönyvvel, amely ezt kitárgyalta volna a bevezetőjében. Innentől kezdve teljesen feleslegesen válik a könyvelés szinte misztikus szakismeretté.

Hasonló volt a helyzet még a nyolcvanas években. A tőzsdei táblázatokban furcsa töredék %-okkal dolgoztak. Nekem sokat mondó volt (leegyszerűsített kérdéseket), amikor valaki elmondta, hogy a logaritmus tábla előtti korszakokban, még a Hanza városok idején szerkesztettek olyan táblázatokat speciális kamatos kamat hatványokkal, amelyekben a gyakorlat számára jó közelítéssel a hatványozás műveletét összeadással lehetett helyettesíteni. Talán matematikailag a logaritmus táblák megelőlegezése, megsejtése volt a dolog alapja.

Visszatérve a középiskolás és későbbi hiányérzetemre matematikai tematika tárgykörében, nekem a matematikai műveletek, fogalmak érthető rendszerezése hiányzott. Egyedül a számok rendszere volt érthető (akkori tanárom talán hetente elmondta – elmondatta velünk), hogy a pozitív egész számokból a műveletek korlátlan elvégzésének igényével hogyan juthatunk el a valós számokig.

De már sajnos nem került sor a műveletek hasonlóan szigorú leszármaztatására a sorba számolástól kezdve (habár ezt még emlegette, de nem kérte számon). Még kevésbé az algebrai azonosságok értelmének, szerepének ismertetésére. Magoltuk, gyakoroltuk, de csak mint számolási eszköz, ami valamiért létezik. De hogy ezek sorba rendezhetők, hogy nem is mindig érvényesek stb-stb, arról nem volt szó.

Ma is még azt mondom, hogy mindenféle pedagógiai indoklás ide vagy oda, ezzel megálltunk a matematika kapujában és nem léptünk be (sem a középiskolában sem a főiskolán vagy egyetemen – egészen pontosan a matematika alkalmazásához szükséges mértékben a matematika mibenlétének megértése maradt el). Főleg akkor válik nyilvánvalóvá ez a be-nem-lépés a matematika világába, ha arra gondolunk, hogy a deduktív, eszmei feltevéseken alapuló matematika mint modellezési eszköz a belépő fogalmi eszköztár a tapasztalati tudományok induktív elméletalkotásaihoz (a mérések elvégezhetőségét, kiértékelhetőségét is beleértve). Szerintem még a pénzügyben is.

Vegyünk egy példát (és ha nem jól csinálom, akkor tessék rámpirítani), például a geometriai axiomarendszer első ránk maradt és időtállónak bizonyult változata Euklidesz Elemek című munkája. Érdeklődésemet Szabó Árpád megjegyzése váltotta ki, aki az Elemek 83-as kiadásához írt előszavában azt veti fel, hogy a megelőző évszázadok görög filozófiai fejlődése nélkül Euklidesz munkája nem készülhetett volna el.

Tehát a matematika nem a filozófiától független logikai termék, közeg, hanem a filozófiai alapoknak köszönhetően vehettük birtokba az axiomatikus matematikát és annak első jelentős változatát Euklidesz munkájában. Más kérdés, hogy miután a görög filozófia kitermelte magából például a paradoxonok mocsarából kivezető utat, letisztázta az egyértelmű érvelés igényét, lecövekelt a kétértékű logika mellett - ezután ezt nem szabad elfeledni. De nem is kell meghaladni, örökösen újra feltalálni. Mint amikor az ember gyermeke elhagyja a szülői házat. Attól még a szülő nem szűnik meg, csak egy fázisa az életnek lezajlott.

Visszamenőleg nem lehet a matematika alól kihúzni a filozófiai alapokat, mert azok időnkénti újra gondolására, ellenőrzésére, újabb és újabb matematikai axiómarendszerek birtokba vételéhez ma is szükség van, a jövőben is szükség lesz.

Nagy megkönnyebbülés volt, amikor olvastam valahol, hogy sokszáz, de különösen többezer éves szövegeket nem egyszerű megérteni, a régi szövegek értelmezésére a tudomány sokszor évszázadokat fordít. Bár Szabó Árpád (akinek nem voltam diákja, munkatársa, csak futó találkozásom volt vele) mondott olyasmit is, hogy fél év alatt elég jól bele lehet tanulni egy-egy ókori nyelvbe és utána már élvezet számba megy a finomságok kibogarászása például ókori görög nyelvi korszakokat elemezve.

Nekem ilyen készségem nem volt. Talán ezért is Euklidesz első sora tűnt leginkább szemembe: a pont az, ami tovább nem osztható. Tudomásom szerint jóval később, már Galilei fogalmazott az eszmei tömegpontról úgy, hogy annak nincsen kiterjedése. A kettő egymásnak megfeleltethető, a matematikai pontnak sincsen kiterjedése. Tapasztalati oldalról a pont tehát egy semmi, egy megtapasztalhatatlan fikció. Nem lehet sublerral vagy elektronmikroszkóppal megmérni az átmérőjét – mert olyan nincsen neki. És ez a megfoghatatlan semmi, ez a fikció az egyik „fixnek bizonyuló” alapja a matematikai gondolkodásunknak (deduktív axiomatikus matematikai gondolkodásunknak).

A középiskolában a halmaz fogalma az 1960-as években evidencia számba ment. Mintha ilyen mindig is lett volna, mintha magától értetődne, hogy használjuk ezt a kifejezést. Csak sokkal később találkoztam azzal a ténnyel, hogy a XIX-XX. század fordulóján került bevezetésre a halmaz fogalma élénk elméleti viták során. A halmaznak vannak elemei (például pontok), de az elemei közti struktúrát, szerkezetet a halmazelmélet nem vizsgálja.

Euklidesz pontjairól is lehetett volna beszélni halmazként (például a kör azon pontok mértani helye a síkben, amelyek a választott középponttól azonos távolságra vannak), de ő még ezt nem tette meg. Tételei ettől függetlenül helytállók. A halmaz fogalma inkább kimetsz egy részt a korábbi geometriából azzal a megokolással, hogy egy részletben pontosabban, a korábbinál még pontosabban akar fogalmazni.

Mondhatjuk úgy is, hogy a halmaz fogalmával letisztultabbá válhatott a geometria. Nemcsak más szavakkal fogalmazunk a halmazelméletet felhasználva, hanem pontosabban is, körültekintőbben is és más céloknak megfelelőbben is – de a klasszikus geometriai tételek igazságának feladása nélkül, inkább azokat kiterjesztve.

A halmaz fogalmát követte a (a számomra érdekes logika szerint) a háló fogalma (szemem előtt geometriai háló képével, amit szakszerűbben talán gráfnak kellene mondani). A halmaz elemeit jelentő pontok között itt már kapcsolatok, viszonyok kerülnek megadásra (ha a pontok a háló csomópontjai, akkor a kapcsolatok a csomópontok közti szálakkal, élekkel értelmezhetők). Ha van üres halmaz, bizonyára van üres háló is.

Az érdekesség az, hogy ha a geometriai pontot megfeleltetem az egyes számnak, és a legelemibb műveletnek az egytől kezdett továbbszámolást tekintem egész számokkal, és ebből származtatom az összeadást és kivonást, a szorzást és osztást, a hatványozást és gyökvonást – akkor háromféle műveletet lehet megkülönböztetni: az egyik nem lép ki a halmazból (például összeadás az egész számok halmazában), a másik kivezethet az adott halmazból (például az osztás az egész számok halmazából), a harmadik pedig kivezethet a halmazok világából a hálók világába (ha műveletként értelmezhetők a pontok, azaz a halmaz elemei közti relációk felépítése, más szóval a viszonyok megadása).

De ez az újabb művelettípus levezethető-e a matematikai „halmaz-állapoton” belüli műveletekből?

Felmerülő kérdés bennem, hogy ha „egészen pontosan” igyekszünk fogalmazni, akkor a kör halmazos definíciójában a mértani hely kifejezés nem már hálóként értelmezhető? Nem fontoskodás volt a szándékom ezzel a kérdéssel, hanem annak jelzése, hogy mondhatni intuitív, megsejtéses alapon utólag emelkedett ki számomra a pont-halmaz-háló mint axiomatikus fogalmi szintek, lépcsők (sajnos, a fiatalkori módszeresebb, tudatosan tudományos felkészültség, tájékozottság helyett).

Nekem hasonlatosan evidensnek tűnik az egyenes, sík és tér olyan származtatott definíciója, amely a pontból indul ki és mint pontokból épülő alakzatokat (talán szintén már hálóként értelmezhető alakzatokként) adja meg őket.

És a XX. század után adódik egy további fogalmi lépcső, a rendszerek világa. Látszólag a rendszereket a „közvélemény” induktív, tapasztalati képződményeknek tartja, amelyek induktív axiomatikával vagy arra emlékeztető módon írhatók le jó esetben. De deduktív axiomatikus rendszerelméletről eddig nem olvastam (vagy nem ismertem rá esetleg egy matematikus nevével vagy más fantázianévvel megadott címben).

Bizonyára van értelme az üres halmaz és üres háló mintájára az üres rendszer fogalmának is. Az üres képződmények ugyanis feltölthetők, tehát tartalmaznak olyan viszonylatokat és egyéb sajátságokat, amelyek nem-üres állapot esetén az elemekkel jelenlétében is megmaradnak (az ürességtől eltekintve).

Az elem-halmaz-háló-rendszer lépcsősort nem tudom mennyire volt divat felvetni korábban. Lehetséges, hogy van ennek valami bökkenője, de erről nem tudok. Számomra ez a lehetséges absztrakciós út a deduktív axiomatikus rendszermodellig társadalmi rendszerek, például közgazdaság esetében.

Már érintettem az axiomatikus alapfogalom jelentőségét. A geometriának megfelelő volt a tovább nem osztható matematikai pont 2300 évvel ezelőtt. A fizikának megfelelt a kiterjedés nélküli tömegpont Galilei idejében (kb 450 évvel ezelőtt). A közgazdaság és más társadalmi rendszerek deduktív axiomatikus tárgyalhatóságához úgy vélem a tovább nem osztható, eszmeileg kiterjedés nélküli személy fogalma lehet megfelelő alapfogalom.

Galilei kiterjedés nélküli tömegpontja nem volt matematikai absztrakció. Nem tudom eldönteni, hogy a személy absztrakciója (ahogyan azt a filozófiában Boethiustól eredeztetik) lehet-e deduktív vagy csak induktívként értelmezhető (mivel egyáltalán nem csak mennyiségi jellemzői vannak mint például a pontnak a geometriában még a koordinátáit is beleértve). Ezt tehát körül kellene járni. A további tisztázásig felvetem, hogy lehetséges egy deduktív axiomatikus rendszermodell, amelynek a személy az alapeleme.

Kérdés, hogy Galilei kiterjedés nélküli tömegpont fogalma deduktívnak vagy induktívnak tekintendő-e? Mert a tényleges tömeghatást képes modellezni, számíthatóvá tenni, de kiterjedés nélküli tömegpont a valóságban nem létezik. Illetve ha az ősrobbanás teóriára gondolunk és annak 0, azaz zéró pillanatára, akkor egész fogalmi rendszerünkkel kapcsolatosan merül fel, hogy ugyan kézre eső, ugyan hasznos de csak a segédismeretlen módján segédfogalomként értelmezhető minden fogalmi megállapítás erre a nulla pontra.

Véletlenül sem fizika elméleti megállapítások tétele volt a célom. Hanem helyenként nem találok más módszert, mint párhuzamok felemlegetését. Hiszen találkoztam például az algebrai gyűrű, csoport, test, háló fogalmával, de olyan fogalmazásban, ami számomra kezelhetetlen, nem vezet a pont (elem) – halmaz – háló – rendszer szintekhez (más szóval fogalmi vagy axiomatikus lépcsőkhöz).

Jó lenne egy olyan általános leírásra lelni, ami a számfogalmi halmazok leírásához hasonlatosan tárgyalná az axiomatikus fogalmi építkezés alapjait az elemtől (ponttól, egytől) kezdve az alapvető műveleteket, viszonyokat is megemlítve (pld továbbszámolás, egyenlőség stb). Egyszerű, áttekinthető fogalmi rendszerezés lehetőségét sejtem. Egészen az elméleti hálón túl az elméleti rendszerig.

Valószínűleg nem vezethető vissza minden alakzat, minden művelet az önmagában álló alapelemig és azzal végezhető közvetlen műveletig. Az egyenlőség vagy egyenlőtlenség úgy képzelem (hirtelen ötletként), hogy már a halmazból való kilépést, a háló szintet jelöli, abban értelmezhető, ahhoz köthető illetve egy olyan művelet, amely a halmazból a háló értelmezésbe vezet.

A legkidolgozottabbnak ahogyan olvastam a számelmélet axióma rendszere tekinthető. Ezzel teljes mértékben megfeleltették a geometria axióma rendszerét. Ezzel pedig a matematikának egységes axióma sémája alakult ki. A matematika deduktív axiómarendszeréhez igazodik a tapasztalati tudományok induktív axiómarendszere is. Ezen keresztül a megvalósuló gépezetek elvi leírását illetve elméleti alapjainak tárgyalásában is ugyanez az axiomatikus séma érvényesül.

A gép ismeretelméletileg olyan az ember által alkotott, kezelt, számításba vett mechanizmus, amelynek működése során a nemkívánt véletlenek kizárhatók, kezelhetők, de legalábbis tudatosíthatók. A gazdasági rendszer annak intézményeivel is tekinthető ilyen megközelítésben gépezetnek. Tehát mint gépezet esetében felvethető, hogy milyen axiomatikus sémákat érvényesít bennük az ember, vesz figyelembe, tudatosít magában.

Az axiomatikában (annak mind deduktív mind induktív ágában) evidencia, hogy az embernek mint gondolkodó, fogalomhasználó alanynak a megnyilvánulásáról van szó. A gépek, szerkezetek megalkotásában is többé-kevésbé egyértelmű, hogy az alkotó ember nélkül nem történne semmi, a gépek nem jönnének létre. Bár a környezetünk elemeként mások által alkotott dolgok létrejöttében, kezelésében való emberi közreműködés, felelősség és szabadság azonosítása már korántsem mindig könnyű.

A társadalmi gépek (társadalmi rendszerek) esetében már nagyon el tud keveredni, hogy miként is értelmezhetjük az emberek szerepét. Ezért is tartom célravezetőnek a személynek mint axiomatikus alapfogalomnak (alapelemnek) a megjelölését. A személy mint fogalom jelentésének ismeretét az európai kultúrkörben értelmezve feltételezem ezen szövegen belül.